LA PARADOJA DEL BARBERO O DE RUSELL
Carlos Mora Vanegas
Nunca rompas el silencio si no es para mejorarlo
Se señala, que La paradoja de Russell o paradoja del barbero, descrita por Bertrand Russell en 1901, demuestra que la teoría original de conjuntos formulada por Cantor y Frege es contradictoria.
Wikipedia nos comenta sobre ella, que la paradoja de Russell ha sido expresada en varios términos más cotidianos, el más conocido es la paradoja del barbero que se puede enunciar de la siguiente manera: En un lejano poblado de un antiguo emirato había un barbero llamado As-Samet diestro en afeitar cabezas y barbas, maestro en escamondar pies y en poner sanguijuelas. Un día el emir se dio cuenta de la falta de barberos en el emirato, y ordenó que los barberos sólo afeitaran a aquellas personas que no pudieran hacerlo por sí mismas. Cierto día el emir llamó a As-Samet para que lo afeitara y él le contó sus angustias:
En mi pueblo soy el único barbero. No puedo afeitar al barbero de mi pueblo, ¡que soy yo!, ya que si lo hago, entonces puedo afeitarme por mí mismo, por lo tanto ¡no debería afeitarme! Pero, si por el contrario no me afeito, entonces algún barbero debería afeitarme, ¡pero yo soy el único barbero de allí!
El emir pensó que sus pensamientos eran tan profundos, que lo premió con la mano de la más virtuosa de sus hijas. Así, el barbero As-Samet vivió para siempre feliz
Por su parte redacta lasangredelleonverde.co, esta paradoja, como se verá, no es como la paradoja del mentiroso pero tiene el mismo resultado final: no se le puede asignar un valor determinado a una afirmación sin incurrir en una contradicción. En la paradoja del mentiroso no podíamos decir que la proposición "Esta oración es falsa" fuera ni verdadera ni falsa ya que en un caso u otro caeríamos en una contradicción; en la paradoja de Russell no podemos decir si el conjunto de todos los conjuntos normales es normal o singular, pero antes paso a explicar que significa conjunto normal y conjunto singular.
Los conjuntos son normalmente conjuntos de cosas. Estos conjuntos son "conjuntos normales" y su principal característica es que no se contienen a sí mismo. Por ejemplo, el conjunto "Letras" no se contiene a sí mismo ya que el conjunto "Letras" no es una letra. También existen conjuntos de conjuntos pero siguen siendo normales si cumplen el requisito de no contenerse a sí mismos. Pero ¿cómo puede un conjunto contenerse a sí mismo? Muy sencillo, pongamos el caso del conjunto de los objetos que no son animales y llamémosle H; como H no es un animal sino un conjunto podemos incluir a H dentro de sí mismo. Al contenerse a sí mismo decimos que H es un conjunto singular. Un conjunto singular, por lo tanto, es un conjunto que se contiene a sí mismo.
Ahora tomemos al conjunto N que es el conjunto de todos los conjuntos normales. Preguntamos ¿es este conjunto normal o singular? La paradoja es la siguiente
+ Si N fuera normal entonces no se podría contener a sí mismo por la definición de conjunto normal pero en la definición de N se dice que es el conjunto de todos los conjuntos normales. Luego si N fuera normal debería contenerse a sí mismo y no contenerse.
+ Si N fuera singular entonces se contendría a sí mismo en su conjunto por definición de conjunto singular pero en la definición de N se dice que es el conjunto de todos los conjuntos normales y por lo tanto no se puede contener a sí mismo, que es, bajo este supuesto, un conjunto singular. Luego si N fuera singular debería contenerse a sí mismo y no contenerse.
Esta paradoja fue descrita por Russell en 1901 para demostrar que la teoría de conjuntos de Frege y Cantor es contradictoria.
Esta paradoja se denomina también paradoja del barbero por su formulación en términos más populares que dice así:
"Un barbero en un pueblo afeita a todos los hombre que no se afeitan por sí mismo, ¿el barbero se afeita a sí mismo?"
Al explicarnos sobre la paradoja, Wikipedia nos indica que se considere que los conjuntos son reuniones de cosas, por ejemplo de coches, libros, personas, etc. y en este sentido los llamaremos conjuntos normales.
La característica principal de un conjunto normal es que no se contiene a sí mismo. Pero también existen conjuntos de conjuntos, como 2M, que es el conjunto de subconjuntos de M.
Un conjunto de conjuntos es normal salvo si podemos hacerlo que se contenga a sí mismo. Esto último no es difícil si tenemos el conjunto de todas las cosas que NO son libros y como un conjunto no es un libro, el conjunto de todas las cosas que NO son libros formará parte del conjunto de todas las cosas que NO son libros. Estos conjuntos que se contienen a sí mismos se llaman conjuntos singulares.
Está claro que un conjunto dado o bien es normal o bien es singular, no hay término medio, o se contiene a sí mismo o no se contiene. Ahora tomemos el conjunto C como el conjunto de todos los conjuntos normales. ¿Qué clase de conjunto es C? ¿Normal o Singular?
Si es normal, estará dentro del conjunto de conjuntos normales, que es C luego ya no puede ser normal. Si es singular, no puede estar dentro del conjunto de conjuntos normales, luego no puede estar en C, pero si no puede estar en C entonces no es singular.
Cualquier alternativa nos produce una contradicción, ésta es la paradoja.
Sin embargo, también existe la frase:
Si en una peluquería vemos el cartel:" yo afeito a quienes no se afeitan a si mismos, y solamente a estos". ¿quién afeita al barbero?
Que muestra una solución más sencilla pues ninguna de las afirmaciones expuestas muestra una idea de conjunto cerrado o estrictamente exclusivo.
En definitiva tal como lo señala, slideshare.net ,la paradoja del barbero es una popularización de la paradoja de Russell que hace alusión a un barbero que, por norma, afeita a todas aquellas personas de la aldea que no se afeitan a sí mismas y sólo a aquéllas. La pregunta desconcertante es ¿se afeita el barbero a sí mismo? Se plantea entonces una difícil situación circular y contradictoria. 1) Si suponemos que el barbero se afeita a sí mismo, como es un habitante del lugar que se afeita a sí mismo, no debería ser afeitado por el barbero y, por consiguiente, no debería ser afeitado por sí mismo. Así pues, si suponemos que es afeitado por él mismo, entonces afirmamos que no debería ser afeitado por sí mismo.
Docente de postgrado, Faces, UC. Exatec
Fuentes debidamente señaladas.
